【题目】如图,正三棱柱的所有棱长均为2,
,
分别为
和
的中点.
(1)证明: 平面
;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)证明线面垂直,一般方法为利用线面垂直的判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,可从两个方面出发,一是利用面面垂直得线面垂直,再得线线垂直,二是利用平几知识,如本题中正方形有关性质,(2)求点到直线距离,一般方法为利用等体积法,即根据可得
分别求出两个三角形面积代入可得点
到平面
的距离.
试题解析:(I)证明:由知
,又平面
平面
,所以
平面
,而
平面
,∴
,在正方形
中,由
分别是
和
的中点知
,而
,∴
平面
.
(Ⅱ)解法1: 由(I)平面
,过
点作
, 交
和
分别于点
和
,则
平面
,即
的长为
到平面
的距离, 在正方形
中,易知
,
,即
,得
,故
到平面
的距离为
.
解法2:如图,连接,在三棱锥
中,设
到平面
的距离为
,则
,将
,
代入得
,得
, 故
到平面
的距离为
.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:AN∥平面MEC;
(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.
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【题目】设{an}是公比为正整数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1a2a3=64,b1+b2+b3=﹣42,6a1+b1=2a3+b3=0.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设pn= ,数列{pn}的前n项和为Sn .
①试求最小的正整数n0 , 使得当n≥n0时,都有S2n>0成立;
②是否存在正整数m,n(m<n),使得Sm=Sn成立?若存在,请求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由.
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【题目】某媒体为了解某地区大学生晚上放学后使用手机上网情况,随机抽取了100名大学生进行调查.如图是根据调查结果绘制的学生每晚使用手机上网平均所用时间的频率分布直方图.将时间不低于40分钟的学生称为“手机迷”.
(1)样本中“手机迷”有多少人?
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料判断是否有95%的把握认为“手机迷”与性别有关?
(3)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量大学 生中,采用随机抽样方法每次抽取1名大学生,抽取3次,经调查一名“手机迷”比“非手机迷”每月的话费平均多40元,记被抽取的3名大学生中的“手机迷”人数为X,且设3人每月的总话费比“非手机迷”共多出Y元,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和Y的期望EY
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【题目】参加衡水中学数学选修课的同学,对某公司的一种产品销量与价格进行统计,得到如下数据和散点图:
定价 | ||||||
年销售 | ||||||
(参考数据:
)
(I)根据散点图判断,与
,
与
哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?
(II)根据(I)的判断结果有数据,建立关于
的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字);
(III)定价为多少元/时,年利润的预报值最大?
附:对一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn , a2=4,S5=30
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)设数列{ }的前n项和为Tn , 求证:
≤Tn<
.
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【题目】某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名,点击一次付费价格排名越靠前,被点击的次数也可能会提高,已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争,其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.
(1)试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征;
(2)若把乙公司设置的每次点击价格为x,每小时点击次数为,则点
近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系,求y关于x的回归直线
.(附:回归方程系数公式:
,
).
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【题目】已知直线 x+y﹣
=0经过椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右焦点和上顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点(0,﹣2)的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若∠AOB为钝角,求直线l的斜率k的取值范围.
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