Question

【题目】设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设pn= ，数列{pn}的前n项和为Sn ．
①试求最小的正整数n0 ， 使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；
②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q＞0，等差数列{bn}的公差为d，∵a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．

∴ =64，3b2=﹣42， +b2﹣d=2a2q+b2+d=0，

联立解得a2=4，b2=﹣14，q=2，d=﹣2．

∴an= =4×2n﹣2=2n，bn=b2+（n﹣2）d=﹣14﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣10

（2）解：①∵pn= ，

数列{pn}的前2n项和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

= ﹣14n+ = ﹣ ﹣2n2﹣12n．

n=1，2，3时，S2n＜0．n≥4时，都有S2n＞0．∴最小的正整数n0=4，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立．

②由S1=2，S2=﹣12，S3=﹣12+23=﹣4，S4=﹣22，S5=﹣22+25=10，

S6=﹣12，S7=﹣12+27=116．

由①可知：使得当n≥4时，都有S2n＞0成立，而an=2n＞0．

因此n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增．

假设存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立，

则取m=2，n=6时，Sm=Sn=﹣12成立，

由n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增，S8=90．因此Sm=Sn不可能成立．

综上可得：只有m=2，n=6时，使得Sm=Sn成立．

【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①pn= ，可得数列{pn}的前2n项和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）= ﹣ ﹣2n2﹣12n．n=1，2，3时，S2n＜0．n≥4时，都有S2n＞0．即可得出．②由S1=2，S2=﹣12，S3=﹣4，S4=﹣22，S5=10，S6=﹣12，S7=116．由①可知：使得当n≥4时，都有S2n＞0成立，而an=2n＞0．因此n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增．即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的前n项和公式的相关知识，掌握前项和公式：．