Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+cx（a≠0，a∈R，c∈R），当x=1时，f（x）取得极值﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值；
（3）若对任意x1、x2∈[﹣1，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，求实数t的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得：f′（x）=3ax2+c

又当x=1时，f（x）取得极值﹣2，

∴ ，即 ，解得

∴f（x）=x3﹣3x．

（2）解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=±1，

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

∴函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）；递减区间为（﹣1，1）．

因此，f（x）在x=﹣1处取得极大值，且极大值为f（﹣1）=2

（3）解：由（2）知，函数f（x）在区间上单调递减，

且f（x）在区间上的最大值为M=f（﹣1）=2．最小值为m=f（1）=﹣2．

∴对任意x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=4成立．

故t≥4，t的最小值为4

【解析】（1）求出f（x）的导数，得到关于a，c的方程组，解出a，c的值即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（3）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值和最小值，]，从而求出|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，得到t的最小值即可
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．