【题目】如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设 
（x，y∈R）． 
（1）若x=y=1，求| 
|；
（2）若 
=36， 
=54，求x，y．
【答案】
（1）解：如图，
若x=y=1，则 
；
∴BD过AC的中点E，且BD=2BE= 
；
即 
（2）解：设∠DBC=θ，则∠DBA=60°﹣θ，设BD=d；
∴由 
=36， 
=54得：
；
解得，cos 
，d= 
；
∴ 
；
即84=36x2+36xy+36y2，整理得， 
①；
且 
；
∴ 
=18x﹣18y=18；
∴x﹣y=1②；
①②联立得， 
（舍去），x= 
．
【解析】（1）x，y=1时，根据向量加法的平行四边形法则，以及等边三角形的中线也是高线便可求出BD的长度，即求出 
的值；（2）可设BD=d，∠DBC=θ，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出不等式组 ，解该不等式组可求出d的大小，然后对 
两边平方即可得出 ①；再根据该问的条件可得到方程x﹣y=1②，这样两式联立即可求出x，y的值．
【考点精析】掌握平面向量的基本定理及其意义是解答本题的根本，需要知道如果
、
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
，有且只有一对实数
、
，使
．
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【题目】已知椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，其中左焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
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【题目】已知函数f（x）=ax3+cx（a≠0，a∈R，c∈R），当x=1时，f（x）取得极值﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值；
（3）若对任意x1、x2∈[﹣1，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，求实数t的最小值．
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【题目】已知函数f（x）=ex+2ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2+1＜ex ．
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