Question

【题目】已知函数f（x）=ex+2ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2+1＜ex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex+2ax，得f'（x）=ex+2a，

令x=0，可得f（0）=1，

可得y=f（x）在点A（0，1）处的切线斜率为e0+2a=﹣1，

即2a=﹣2，解得a=﹣1；

f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2，

当x＞ln2时，可得f′（x）＞0，f（x）递增；

当x＜ln2时，可得f′（x）＜0，f（x）递减．

即有f（x）在x=ln2处，取得极小值，

且为2﹣2ln2，无极大值；

（2）证明：令g（x）=ex﹣x2﹣1，

则g'（x）=ex﹣2x，

由（Ⅰ）得，g（x）在x=ln2处，取得极小值，

且为最小值2﹣2ln2，

由2﹣2ln2＞0，

即有g′（x）＞0，

则g（x）在（0，+∞）递增，

可得g（x）＞g（0）=0，

即当x＞0时，x2+1＜ex．

【解析】（1）求得f（x）的导数，求得点A（0，1），可得切线的斜率，解方程可得a=﹣1；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（2）令g（x）=ex﹣x2﹣1，求出导数，再由（Ⅰ）可得g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）递增，即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．