【题目】已知函数,
.
(1)若关于的不等式
在
上恒成立,求
的取值范围;
(2)设函数,若
在
上存在极值,求
的取值范围,并判断极值的正负.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】【试题分析】(1)先分离参数,再构造函数运用导数求函数的最值;(2)借助导数与函数的单调性之间的关系,运用分类整合思想进行分析求解:
(1)由,得
,即
在
上恒成立.
设函数,
.则
.
设.则
.易知当
时,
.
∴在
上单调递增,且
.即
对
恒成立.
∴在
上单调递增,∴当
时,
.
∴,即
的取值范围是
.
(2),
,∴
.
设,则
.由
,得
.
当时,
;当
时,
. ∴
在
上单调递增,在
上单调递减.且
,
,
.显然
.
结合函数图像可知,若在
上存在极值,则
或
.
(ⅰ)当,即
时,
则必定,使得
,且
.
当变化时,
,
,
的变化情况如下表:
极小值 | 极大值 |
∴当时,
在
上的极值为
,且
.
∵.
设,其中
,
.
∵,∴
在
上单调递增,
,当且仅当
时取等号.
∵,∴
.∴当
时,
在
上的极值
.
(ⅱ)当,即
时,则必定
,使得
.
易知在
上单调递增,在
上单调递减.此时,
在
上的极大值是
,且
.
∴当时,
在
上极值为正数.综上所述:当
时,
在
上存在极值.且极值都为正数.
注:也可由,得
.令
后再研究
在
上的极值问题.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点
和直线
:
,圆C与直线
相切,并且圆心C关于点
的对称点在圆C上,直线
与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求圆心C的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点且与直线
不垂直的直线
与圆心C的轨迹E相交于点A、B,求
面积的取值范围.
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【题目】已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+ )=
.
(1)在极坐标系下写出θ=0和θ= 时该直线上的两点的极坐标,并画出该直线;
(2)已知Q是曲线ρ=1上的任意一点,求点Q到直线l的最短距离及此时Q的极坐标.
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【题目】在数列{an}中,设ai=2m(i∈N* , 3m﹣2≤i<3m+1,m∈N*),Si=ai+ai+3+ai+6+ai+9+ai+12 , 则满足Si∈[1000,3000]的i的值为 .
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【题目】如图,在四边形ABCD中,△ABC是边长为6的正三角形,设 (x,y∈R).
(1)若x=y=1,求| |;
(2)若 =36,
=54,求x,y.
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【题目】如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在AB的延长线上,N在AD的延长线上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米,记矩形AMPN的面积为S平方米.
(1)按下列要求建立函数关系;
(i)设AN=x米,将S表示为x的函数;
(ii)设∠BMC=θ(rad),将S表示为θ的函数.
(2)请你选用(1)中的一个函数关系,求出S的最小值,并求出S取得最小值时AN的长度.
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【题目】【2017福建三明5月质检】已知直线与抛物线
相切,且与
轴的交点为
,点
.若动点
与两定点
所构成三角形的周长为6.
(Ⅰ) 求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ) 设斜率为的直线
交曲线
于
两点,当
,且
位于直线
的两侧时,证明:
.
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