Question

【题目】如图，是一块足球训练场地，其中球门AB宽7米，B点位置的门柱距离边线EF的长为21米，现在有一球员在该训练场地进行直线跑动中的射门训练．球员从离底线AF距离x（x≥10）米，离边线EF距离a（7≤a≤14）米的C处开始跑动，跑动线路为CD（CD∥EF），设射门角度∠ACB=θ．

（1）若a=14，
①当球员离底线的距离x=14时，求tanθ的值；
②问球员离底线的距离为多少时，射门角度θ最大？
（2）若tanθ= ，当a变化时，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ACD中，设 ，

在△BCD中，设 ，

当a=14时，AD=14，BD=7，

①若x=14，则 ；

②因为 在x≥10时单调递增，

所以 ，

所以当x=10时射门角度θ最大

（2）解：AD=28﹣a，BD=21﹣a，

，则﹣x2+21x=a2﹣49a+28×21

因为7≤a≤14，所以98≤a2﹣49a+28×21≤294，

则98≤﹣x2+21x≤294，即 ，所以7≤x≤14

又x≥10，所以10≤x≤14

所以x的取值范围是[10，14]

【解析】（1）①利用差角的正切函数求出tanθ的值；②利用函数的单调性，可得球员离底线的距离为多少时，射门角度θ最大；（2）利用 ，则﹣x2+21x=a2﹣49a+28×21，因为7≤a≤14，所以98≤a2﹣49a+28×21≤294即可求x的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本不等式在最值问题中的应用(用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”)．