Question

【题目】设函数f（x）=a2x+ （a，b，c为常数，且a＞0，c＞0）．
（1）当a=1，b=0时，求证：|f（x）|≥2c；
（2）当b=1时，如果对任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求证：a+2c＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1，b=0时，

f（x）=x+ ，x＞0时，f（x）≥2 =2c，

x＜0时，f（x）≤﹣2 =﹣2c，

综上：|f（x）|≥2c；

（2）解：a＞0，b＞0，b=1，x＞1时，x﹣1＞0，

∴f（x）=a2x+

=a2（x﹣1）+ +a2

≥2ac+a2

=a（2c+a）＞a，

∴a+2c＞1．

【解析】（1）求出f（x）的表达式，根据基本不等式的性质证明即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．