Question

已知曲线C的方程为（2-t）x²+（3-t）y²=（2-t）（3-t），t＜3．
（1）就t的不同取值讨论方程所表示的曲线C的形状；
（2）若t=-1，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与曲线C相交于A，B两点．
①求

OA

•

OB

的取值范围；
②若B点关于x轴的对称点为E点，探索直线AE与x轴的相交点是否为定点．

Answer 1

考点：曲线与方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）分类讨论，结合椭圆、双曲线方程得答案；
（2）①设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，把

OA

•

OB

代入根与系数关系化为含有k的代数式，由k的范围求得

OA

•

OB

的取值范围；
②求出B点关于x轴的对称点的坐标，写出直线AE的方程，求得与x轴的交点的横坐标，代入①的根与系数关系得答案．

解答： 解：（1）方程（2-t）x²+（3-t）y²=（2-t）（3-t），t＜3，
t＜2，可化为

x2

3-t

+

y2

2-t

=1，表示焦点在x轴上的椭圆；
t=2时，y=0，表示x轴；
2＜t＜3时，可化为

x2

3-t

-

y2

t-2

=1，表示焦点在x轴上的双曲线；
（2）①t=-1，可化为

x2

4

+

y2

3

=1．
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），
代入椭圆方程，消去y得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4•（3+4k²）（64k²-12）＞0，得-

1

2

＜k＜

1

2

．
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
则x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

①，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²=25-

87

4k2+3

，
∵-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴25-

87

4k2+3

∈[-4，

13

4

），
∴

OA

•

OB

的取值范围是[-4，

13

4

）；
②直线与x轴相交于定点（1，0）．
∵B，E关于x轴对称，
∴点E的坐标为（x₂，-y₂），
直线AE的方程为y-y₁=

y1+y2

x1-x2

（x-x₁），
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=1．
∴直线与x轴相交于定点（1，0）．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．