Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）是增函数，且f（1）=1．
（Ⅰ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 证明f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜1．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由函数的单调性得到1-f（x）≥0，然后把4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0分离变量a，利用基本不等式求其最小值，则实数a的范围可求；
（Ⅱ）利用错位相减法求出数列的和，然后借助于在[0，1]上函数f（x）是增函数得答案．

解答： （Ⅰ）解：f（x）在[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1，故1-f（x）≥0，
当f（x）=1时，不等式化为0•a+1≥0，显然a∈R；
当f（x）＜1时，不等式化为a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

对于x∈[0，1]恒成立．
y=

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

=1-f(x)+

1

4[1-f(x)]

≥1．
当且仅当f(x)=

1

2

取等号，
∴y_min=1，从而a≤1．
综上所述，a∈（-∞，1]；
（Ⅱ）证明：令T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

  ①，
则

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

  ②，
①-②得Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

1

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1，
又由①知T_n＞0，
∵f（x）在[0，1]上是增函数，
∴f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜f(1)=1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．