Question

已知：函数f（x）=x+

4

x

（1）判断函数的奇偶性并证明
（2）证明函数f（x）在（0，2]是减函数，并求f（x）在（0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）可得函数的定义域为{x|x≠0}，可证f（-x）=-f（x），由函数奇偶性的定义可得；
（2）任取x₁，x₂∈（0，2]且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，可得单调性和最值．

解答：解：（1）由题意可得f（x）=x+

4

x

的定义域为{x|x≠0}，
故可得f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
故函数为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（0，2]且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-（x2+

4

x2

）
=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，2]且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，x₁x₂-4＜0
∴（x₁-x₂）

x1x2-4

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在（0，2]是减函数，
故当x=2时，f（x）取最小值f（2）=4．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的最值的求解，属基础题．