Question

已知f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先看函数定义域是否关于原点对称，若对称，则由定义看f（-x）与f（x）的关系即可；
（2）根据函数单调性的定义即可作出判断；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，等价于f（x）min≥b，由（2）可知f（x）在[-1，1]上的单调性，根据单调性可求得f（x）_min．

解答：解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）f（x）在定义域内单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[ax1-a-x1-ax2+a-x2]
=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
当a＞1时，a²-1＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函数；
当0＜a＜1时，a²-1＜0，ax1-ax2＞0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函数；
∴当a＞0，且a≠1时，f（x）在定义域内是增函数；
（3）由（2）知f（x）在R上单调递增，∴f（x）在[-1，1]内为增函数，
∴f（-1）≤f（x）≤f（1），则f（x）_min=f（-1）=

a

a2-1

(a-1-a)=

a

a2-1

•

1-a2

a

=-1，
∴要使f（x）≥b在[-1，1]上恒成立，只需b≤-1，
∴b的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题考查函数单调性、奇偶性的判断及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，恒成立问题常转化为函数最值问题解决．