Question

已知f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，（a＞0且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（-x）=-f（x），从而可得函数为奇函数；
（2）再证单调性：利用定义任取x₁＜x₂，利用作差比较f（x₁）-f（x₂）的正负，从而确当f（x₁）与f（x₂）的大小，进而判断函数的单调性；
（3）对一切x∈[-1，1]恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
所以f（x）定义域为R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数，
（2）任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（a^x₂-a^x₁）（1+a^{-（x₁+x₂）}）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a^{-（x₁+x₂）}＞0
①当a＞1时，a²-1＞0，a^x₂-a^x₁＞0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②当0＜a＜1时，a²-1＜0．，a^x₂-a^x₁＜0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为

a

a2-1

（

1

a

-a）=-1，
∴b≤-1．
求b的取值范围（-∞，-1]．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判断，函数单调性的证明，抽象函数性质应用，关键是正确应用函数的基本性质解题．