Question

若函数满足下列条件：在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.

（1）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；

（2）已知函数具有性质，求实数的取值范围；

（3）试探究形如①、②、③、④、⑤的函数，指出哪些函数一定具有性质?并加以证明.

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：代入得：……2分

即，解得

∴函数具有性质.………………………………………4分

②若,则要使有实根，只需满足,

即，解得

∴…………………………………………8分

综合①②,可得…………………………………9分

（Ⅲ）解法一：函数恒具有性质，即关于的方程（*）恒有解.

　　　①若，则方程（*）可化为

　　　　　整理，得

　　　　　当时，关于的方程（*）无解

∴不恒具备性质；

②若，则方程（*）可化为，

解得.

∴函数一定具备性质.

③若，则方程（*）可化为无解

　∴不具备性质；

④若，则方程（*）可化为，

化简得

当时，方程（*）无解

　∴不恒具备性质；

⑤若，则方程（*）可化为，化简得

　显然方程无解

　∴不具备性质；

综上所述，只有函数一定具备性质.……14分

解法二：函数恒具有性质，即函数与的图象恒有公共点.由图象分析，可知函数一定具备性质.………12分

　　下面证明之：

方程可化为，解得.

∴函数一定具备性质.……………………14分