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对于函数y=f(x),若同时满足下列条件:
①函数y=f(x)在定义域D内是单调递增或单调递减函数;
②存在区间[a,b]⊆3D,使函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则称f(x)是D上的闭函数.
(1)求闭函数f(x)=-x3符合条件②的区间[a,b];
(2)判断函数g(x)=
3
4
x+
1
x
,在区间(0,+∞)上是否为闭函数;
(3)若函数φ(x)=k+
x+2
是闭函数,求实数k的取值范围.
分析:(1)利用函数f(x)=-x3在R上为单调减函数的特点,由f(a)=b,f(b)=a列方程即可解得a,b
(2)根据求导公式求出g′(x),并求出g(x)的单调区间,判断其在(0,+∞)不具有单调性,再据闭函数的定义判断;
(3)函数φ(x)=k+
x+2
在[-2,+∞)单调递增,根据闭函数的定得f(a)=a,f(b)=b,列出方程组后得:a、b是此方程组的解,再对k进行分类讨论,分别转化为二次函数根的分布问题,列对应的不等式即可得k的取值范围.
解答:解:(1)∵y=-x3是[a,b]上的减函数,
f(a)=-a3=b
f(b)=-b3=a.

b
a
=
-a3
-b3
=(
a
b
)3

∴(
a
b
)4=1
,∴
a
b
=±1

又∵-a3=b,∴
a=-1
b=1

∴所求区间为[-1,1].
(2)∵g′(x)=
3
4
-
1
x2
,x
∈(0,+∞),
令g′(x)=
3
4
-
1
x2
>0,得x>
2
3
3

∴x>
2
3
3
时,g(x)为(
2
3
3
,+∞)上的增函数.
令g′(x)=
3
4
-
1
x2
<0,得0<x<
2
3
3

∴g(x)为(0,
2
3
3
)上的减函数.
∴g(x)不是(0,+∞)上的单调函数.
∴g(x)不是(0,+∞)上的闭函数.
(3)易知φ(x)是[-2,+∞]上的增函数.
设φ(x)=k+
x+2
满足条件②的区间是[a,b],
?(a)=k+
a+2
=a
?(b)=k+
b+2
=b.

即a,b是方程x=k+
x+2
的两个不等实根.
也就是方程组
x2-(2k+1)x+(k2-2)=0
x≥-2
x≥k
有两个不等实根a,b.
①当k≤-2时,方程x2-(2k+1)+(k2-2)=0在[-2,+∞)上有两个不等实根.
2k+1
2
>-2
△=(2k+1)2-4(k2-2)>0
(-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得:-
9
4
<k≤-2

②当k>-2时,方程x2-(2k+1)x+(k2-2)=0在[k,+∞)上有两个不等实根.
2k+1
2
>k
△=(2k+1)2-4(k2-2)>0
k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得:-
9
4
<k≤-2
,与条件k>-2矛盾.
∴φ(x)=k+
x+2
是闭函数,实数k的取值范围是-
9
4
<k≤-2
点评:本题考查了新定义型函数的理解和运用能力,函数单调性的应用,以及问题的等价转化能力和分类讨论思想.
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已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:
①y=f(x)是周期函数②x=π是它的一条对称轴;③(-π,0)是它图象的一个对称中心;
④当x=
π
2
时,它一定取最大值;其中描述正确的是
 

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给出下列五个命题:
①函数y=f(x),x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点;
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,总存在x0,当x>x0 时,有2x>x2成立;
④对于函数y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)•f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点.
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.
其中正确的序号是
③⑤
③⑤

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(2010•上海模拟)对于函数y=f(x)的图象上任意两点A(a,f(a)),B(b,f(b)),设点C分
AB
的比为λ(λ>0).若函数为f(x)=x2(x>0),则直线AB必在曲线AB的上方,且由图象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函数为f(x)=log2010x,请分析该函数的图象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

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已知定义在区间[-3,3]上的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,对于函数y=f(x)的图象上任意两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0.若实数a,b满足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0,则点(a,b)所在区域的面积为(  )
A、8B、4C、2D、1

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