Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A-A′D′-B′所围成的几何体的体积为（　　）

• A．

  4π

  3

• B．

  2π

  3

• C．

  π

  3

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：直接根据条件得到点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，进而求出结论．

解答：解：依题意可知|FP|=

1

2

|MN|=1，
因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的

1

4

．
于是所求的体积是

1

4

×（

4

3

π×1³）=

1

3

π．
故选：C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．考查空间想象能力，计算能力．