Question

6．若x₁，x₂为方程2x²-x+2=0的根，则$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$±\frac{\sqrt{15}}{2}i$．

Answer 1

分析 求解一元二次方程得x₁，x₂的值，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$化简得答案．

解答 解：∵x₁，x₂为方程2x²-x+2=0的根，
∴$x=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}$，
若${x}_{1}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{4}i$，则${x}_{2}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{4}i$，此时$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{4}i-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{4}i}{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{15}}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}i$；
若${x}_{1}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{4}i$，则${x}_{2}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{4}i$，此时$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{4}i-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{4}i}{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{15}}{4}）^{2}}=-\frac{\sqrt{15}}{2}i$．
故答案为：$±\frac{\sqrt{15}}{2}i$．

点评 本题考查实系数一元二次方程根的求解方法，训练了复数代数形式的乘除运算，是基础题．