Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（$\sqrt{2}$，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2c²，由a²=b²+c²，得b²=c²，将点点（$\sqrt{2}$，1）代入$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设P（m，0）（-2≤m≤2），设直线l的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明|PA|²+|PB|²为定值．

解答 解：（1）由椭圆方程可知：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，焦点在x轴上，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=2c²，
由a²=b²+c²，即b²=c²，
将点（$\sqrt{2}$，1）代入$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：b=$\sqrt{2}$，a=2，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），
∴直线l的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-m），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
整理：2x²-2mx+m²-4=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个根，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²，
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²，
=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]，
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]，
=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）2-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]，
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-m²-4）+2m²]=5（定值）．
∴|PA|²+|PB|²为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等式的证明，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．