设整数n≥4.P(a.b) 是平面直角坐标系xOy 中的点.其中a.b∈{1.2.3.-.n}.a＞b．(1)记An 为满足a-b=3 的点P 的个数.求An,(2)记Bn 为满足13(a-b) 是整数的点P 的个数.求Bn．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）记A_n 为满足a-b=3 的点P 的个数，求A_n；
（2）记B_n 为满足

(a-b) 是整数的点P 的个数，求B_n．

分析：（1）A_n 为满足a-b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A_n中元素个数有关，直接写出A_n的表达式即可．
（2）设k为正整数，记f_n（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，讨论f_n（k）≥1的情形，推出f_n（k）=n-3k，根据k的范围k ≤

n-1

，说明n-1是3的倍数和余数，
然后求出B_n．

解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a-3≤n-3，所以A_n=n-3；
（2）设k为正整数，记f_n（k）为满足题设条件以及a-b=3k的点P的个数，只要讨论f_n（k）≥1的情形，由1≤b=a-3k≤n-3k，
知f_n（k）=n-3k且k ≤

n-1

，设n-1=3m+r，其中m∈N⁺，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以
B_n=

k=1

fn(k)=

k=1

(n-3k)=mn-

3m(m+1)

m(2n-3m-3)

将m=

n-1-r

代入上式，化简得B_n=

(n-1)(n-2)

r(r-1)

所以B_n=

n(n-3)

是整数

(n-1)(n-2)

不是整数

点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．

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对于数列{x_n}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把这样一类数列{x_n}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{x_n}的最小正周期，以下简称周期．例如当x_n=2时，{x_n}是周期为1的周期数列，当yn=sin(

n)时，{y_n}的周期为4的周期数列．
（1）设数列{a_n}满足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁+a，a₂=b（a，b不同时为0），且数列{a_n}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由；
②若a_na_n+1＜0，试判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由．
（3）设数列{a_n}满足a_n+2=-a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a₂=2，b_n=a_n+1，数列{b_n}的前n项和S_n，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N^*都有p≤

≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．

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设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。