Question

如图所示，已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点的动直线 与圆 相交于两点，是的中点，直线与相交于点 .

(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程；
(3)是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是,请说明理由．

Answer 1

（1）; （2）或;（3）是定值，且．

试题分析：（1）已知圆的圆心，再根据直线与圆相切可利用圆心到直线的距离等于半径来求出圆心，这样即可求出圆的标准方程; （2）已知直线被圆截得的弦长可联想到圆的特征三角形的三边的关系： ，又直线过一点可联想到设出直线的点斜式方程，但此处一定要注意斜率是否存在从而分两种情况讨论：当斜率不存在时，由图可直接分析得出;当斜率存在时，先计算出圆心到直线的距离，再结合已知由上述特征三角形的关系可求出直线的斜率，进而得出直线方程; （3）要判断是否为定值，发现点是弦的中点，根据圆的几何性质有：，即可得，再由向量运算的知识可知，这样可转化为去求，最后结合（2）中所设直线的两种形式去求出点的坐标，由向量数量积的运算公式可得是一个常数．
试题解析：（1）设圆的半径为，因为圆与直线相切，所以，故圆的方程为; （2）当直线与轴垂直时，易知符合题意;当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．连接，则，，由，得，得直线的方程为，所求直线的方程为：或;（3） ，当直线与轴垂直时，得，则，又，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由 ，解得, ，综上所述，是定值，且．