Question

【题目】在平面直角坐标系中，若，，且.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中曲线的左、右顶点分别为、，过点的直线与曲线交于两点，（不与，重合）.若直线与直线相交于点，试判断点，，是否共线，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

第（Ⅰ）问由且可得点到两定点的距离之和为常数，可得动点轨迹为椭圆；

第（Ⅱ）问分类讨论直线的方程，斜率不存在时可直接求出所需点的坐标；斜率存在时则先设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程求出交点关系，再求出点，利用的关系判断即可.

解：（Ⅰ）设，，则

.

∴动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

设其方程为，则，，即，，

∴.∴动点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，：，不妨设，，

∴直线的方程为，

令得.

∴.∴点，，共线.

②当直线的斜率存在时，设：，设，.

由消得，

由题意知恒成立，故，，

∴直线的方程为，

令得.

∴ ，

上式中的分子

.

∴，∴点，，共线.

综上可知，点，，共线.