Question

【题目】已知函数．

（1）若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，求证：；

（3）求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）不等式恒成立等价于恒成立，即，再构造函数，利用导数求其最小值即可得解；

（2）由（1）知当时，有恒成立，所以，然后令，即，再不等式左右两边分别累加求和即可得解；

（3）由（1）可知，当时， 在上恒成立，即要证等价于，即只需证当时，，再构造函数，利用导数求证即可.

解：（1）由题意，函数的定义域为，

由，得，

所以恒成立，即．

令，则，

令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以函数的最小值为，所以，

即的取值范围是．

（2）由（1）知当时，有恒成立，所以（当且仅当时等号成立）．

令，得，

所以，，，，，

以上各式相加，得，

所以，

即．

（3）由（1）可知，当时，，

即在上恒成立．

要证，即证，

只需证当时，．

令，则．

令，则．

由，得．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

即在上单调递减，在上单调递增．

而，，

所以，使得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

又，，

所以对，恒成立，即．

综上所述，成立.