Question

已知，

（Ⅰ）当时，若在上为减函数，在上是增函数，求值；

（Ⅱ）对任意恒成立，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入得到和表达式，求导，将已知转化为，，转化恒成立问题，从而求出k的值；第二问，构造函数转化为在上恒成立，对进行二次求导，判断函数的单调性，求出最值，确定a的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当时，，，，，

在上为减函数，则，∴，

在上是增函数，则，∴，

（6分）

（Ⅱ）设，

则，设则，

（1）当时，，所以在上是减函数，在不恒成立；

（2）当时，，所以在上是增函数，的函数值由负到正，必有即，两边取自然对数得，，

所以，在上是减函数，上是增函数，

所以，

因此，即a的取值范围是. （12分）

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.