Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左顶点（-a，0）与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{P}{2}$，0）的距离为4，∴$\frac{P}{2}$+a=4；
又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），∴渐近线的方程应是y=$\frac{b}{a}$x，而抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，因此-1=$\frac{b}{a}$×（-2），-2=-$\frac{p}{2}$，
联立得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{p}{2}+a=4}\\{a=2b}\\{p=4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，p=4．
故双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．