Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AC₁⊥平面A₁BC，需要从平面A₁BC中找出两条相交线与AC₁垂直，由图形知，可证BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁．由线面垂直的定理即可得．
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距离，本小题拟采用向量法求解，建立空间坐标系，求出平面A₁AB的法向量，以及

C1A1

，求

C1A1

在平面法向量上的投影即可得到点到面的距离．
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值，本小题拟采用向量法求解，根据（2）求出两平面的法向量，直接求两向量夹角的余弦值的绝对值即可．

解答：解：
（Ⅰ）证明：因为A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A₁ACC₁∴BC⊥AC₁
∵AC₁⊥BA₁且BC₁∩BA₁=B
∴AC₁⊥平面A₁BC
（Ⅱ）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AC₁⊥平面A₁BC∴AC₁⊥A₁C
∴四边形A₁ACC₁是菱形∵D是AC的中点
∴∠A₁AD=60°∴A（2，0，0）A₁（1，0，

3

）
B（0，2，0）C₁（-1，0，

3

）
∴

A1A

=（1，0，

3

）

AB

=（-2，2，0）
设平面A₁AB的法向量

n

=（x，y，z），则

x= 3 z x=y

，令z=1，
∴

n

=（

3

，

3

，1）
∵

C1A1

=（2，0，0）∴d=

| C1A1 . n |

| n |

=

2 21

7

∴C₁到平面A₁AB的距离为

2 21

7

（Ⅲ）平面A₁AB的法向量

n

=（

3

，

3

，1），平面A₁BC的法向量

AC1

=（-3，0，

3

）
∴cos＜

AC1

，

n

＞=

AC1 . n

| AC1 || n |

=-

7

7

，
设二面角A-A₁B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴cosθ=

7

7

即二面角A-A₁B-C的余弦值为

7

7

点评：本题考查线面垂直的证明，点到面距离的求法，二面角的求法，由解题过程可以看出，用向量法求点到面的距离，求二面角是一个很实用的方法，解题中要善于运用，在求解此类题时，求面的法向量是一个重点，要学会怎么赋值．