Question

等差数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三列中的某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在下表的同一行．

	第一列	第二列	第三列
第一行	-3	3	1
第二行	5	0	2
第三行	-1	2	0

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：bn=

an+2

2n

，设数列{b_n}的前n项和S_n（n∈N^*），证明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析公差进而求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）问的结果对数列数列{a_n}，进而可求b_n，然后结合通项的特点，利用错位相减法进行数列的前n项和，即可证明

解答：解：（Ⅰ）当a₁=-3时，不合题意；当a₁=5时，不合题意；
当a₁=-1时，当且仅当a₂=0，a₃=1时符合题意；
因此a₁=-1，a₂=0，a₃=1，
所以等差数列{a_n}的公差d=1，
故a_n=-1+（n-1）•1=n-2．…（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a_n=n-2则bn=

an+2

2n

=

n

2n

．…（5分）
∵Tn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

②…（8分）
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

×

1

2

 所以 Tn=2-

1

2n-1

-

n+2

2n

＜2…（12分）

点评：本题考查的是数列求和问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、错位相减求和的方法、等差数列通项的求法以及运算能力