Question

16．若平面区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ 2x-y-3≤0\\ x-2y+3≥0\end{array}\right.$夹在两条斜率为$\frac{2}{3}$的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
• C． $\frac{{5\sqrt{13}}}{13}$
• D． $5\sqrt{13}$

Answer 1

分析 作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出两平行直线方程，计算距离即可．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ 2x-y-3≤0\\ x-2y+3≥0\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示；

∴当直线y=$\frac{2}{3}$x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等；
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，
解得A（2，1），代入y=$\frac{2}{3}$x+b′中，求得b′=-$\frac{1}{3}$；
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-2y+3=0}\end{array}\right.$，
解得B（1，2），代入y=$\frac{2}{3}$x+b中，求得b=$\frac{4}{3}$；
则两条平行线分别为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
即2x-3y-1=0，2x-3y+4=0，
∴平行线间的距离为d=$\frac{|-1-4|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-3）}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
即两平行线间的最小距离为$\frac{5\sqrt{13}}{13}$．
故选：C．

点评 本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的问题，也考查了距离公式的应用问题，是中档题．