分析:(Ⅰ)由题意知
a3=(1+cos2)a1+4sin2=a1+4=4,a
4=(1+cos
2π)a
2+4sin
2π=2a
2=4,一般地,当n=2k-1(k∈N
*)时,a
2k+1-a
2k-1=4.因此a
2k-1=4(k-1).当n=2k(k∈N
*)时,a
2k=2
k.由此可知数列{a
n}的通项公式为
an= | 2(n-1),n=2k-1(k∈N*) | 2,n=2k(k∈N*) |
| |
.
(Ⅱ)由题设知,S
k=a
1+a
3+…+a
2k-1=0+4+…+4(k-1)=2k(k-1),T
k=a
2+a
4+…+a
2k=2+2
2+2
k=2
k+1-2,
Wk==.
由此可知当k≥6时,W
k+1<W
k.满足W
k>1的所有k的值为3,4,5.
解答:解:(Ⅰ)因为a
1=0,a
2=2,所以
a3=(1+cos2)a1+4sin2=a1+4=4,a
4=(1+cos
2π)a
2+4sin
2π=2a
2=4,一般地,当n=2k-1(k∈N
*)时,
a2k+1=[1+cos2]a2k-1+4sin2π=a2k-1+4,
即a
2k+1-a
2k-1=4.所以数列{a
2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列,
因此a
2k-1=4(k-1).
当n=2k(k∈N
*)时,
a2k+2=[1+cos2]a2k+4sin2π=2a2k,
所以数列{a
2k}是首项为2、公比为2的等比数列,因此a
2k=2
k.
故数列{a
n}的通项公式为
an= | 2(n-1),n=2k-1(k∈N*) | 2,n=2k(k∈N*) |
| |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,S
k=a
1+a
3+…+a
2k-1=0+4+…+4(k-1)=2k(k-1),T
k=a
2+a
4+…+a
2k=2+2
2+2
k=2
k+1-2,
Wk==.
于是W
1=0,W
2=1,
W3=,
W4=,
W5=,
W6=.
下面证明:当k≥6时,W
k<1.事实上,当k≥6时,
Wk+1-Wk=-=<0,
即W
k+1<W
k.
又W
6<1,所以当k≥6时,W
k<1.
故满足W
k>1的所有k的值为3,4,5.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.