Question

在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．

（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；
（2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。

Answer 1

（1）根据题意由于可以得到∥，又平面，平面，从而得到证明。
（2）

试题分析：（1）分别取 的中点,连接,则∥,∥,且，

因为，,为的中点，
所以,，
又因为平面⊥平面，
所以平面．     3分
又平面,
所以∥，  5分
所以∥，且,因此四边形为平行四边形，
所以∥，所以∥，又平面，平面，
所以∥平面. 7分
（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）

（2）解法一:
过作垂直的延长线于,连接.
因为,,
所以平面,平面
则有.
所以平面,平面,
所以.
所以为二面角的平面角，
即.    10分
在中，，则 ,.
在中，.
设，则,所以，又
在中,,即=，
解得，所以．       14分
解法二:
由（1）知平面，,
建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则,,
,，
,.
设平面的法向量
则所以 
令, 所以 ，11分
又平面的法向量，
所以，
解得， 即．        14分
点评：主要是考查了空间中线面平行的运用，以及二面角的平面角的求解，属于基础题。