Question

【题目】已知椭圆C：经过定点，其左右集点分别为，且，过右焦且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.

（1）求椭圆C的方程：

（2）若O为坐标原点，在线段上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，m的取值范围为

【解析】

（1）由椭圆的定义可求出a的值，再把点E的坐标代入椭圆方程，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程；

（2）先设点P，Q的坐标以直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m与k的关系式，可求出m的取值范围.

解：（1）∵点E在椭圆上，且，

∴，，

又∵定点在椭圆上，∴，

∴，

∴椭圆C的方程为：；

（2）假设存在点满足条件，设，，直线l的方程为：，

联立方程，消去y得：，

∴，，，

又，，，

∴，

由题意知.

，

∵，∴，

即，

则，

∴，

∴，

故存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为.