Question

【题目】已知长为3的线段的两端点，分别在轴和轴上移动，.

（1）求点的轨迹的方程.

（2）过作互相垂直的两条直线分别与轨迹交于，和，，设中点为，中点为，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过定点

【解析】

（1）设，由得，，然后利用，即可求解.

（2）若直线斜率存在且不为0.设直线的方程为，代入椭圆方程，求得的坐标，同理设的方程为，代入椭圆方程，求得的坐标，然后可得直线的直线方程，化简后即可求出过定点.

解：（1）设，由得，，

，整理得点的轨迹的方程为.

（2）若直线斜率存在且不为0.设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，

显然，设，坐标分别为，，中点坐标为，

则，，

即.

同理可得，，

.

直线的方程为，

整理得.

当直线斜率不存在或为0时，直线即为轴，也过点.

综上，直线过定点.