Question

【题目】近些年随着我国国民消费水平的升级，汽车产品已经逐渐进入千家万户，但是我国的城市发展水平并不能与汽车保有量增速形成平衡，城市交通问题越发突出，因此各大城市相继出现了购车限号上牌的政策.某城市采用摇号买车的限号上牌方式，申请人提供申请，经审查合格后，确认申请编码为有效编码，这时候就可以凭借申请编码参加每月一次的摇号.假设该城市有20万人参加摇号，每个月有2万个名额，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续下个月摇号.

（1）平均每个人摇上号需要多长时间?

（2）如果每个月都有2万人补充进摇号队伍，以每个人进入摇号的月份算第一个月，他摇到号的月份设为随机变量.

①证明：为等比数列；

②假设该项政策连续实施36个月，小王是第一个月就参加摇号的人，记小王参.加摇号的次数为，试求的数学期望（精确到0.01）.

参考数据：，.

Answer 1

【答案】（1）5.5个月；（2）①证明见解析；②

【解析】

（1）设每个人摇上号的时间为个月，得到，求得相应的概率，计算出数学期望，即可得到结论；

（2）（ⅰ）结合等比数列的定义，即可证得为等比数列；（ⅱ）由（ⅰ）求得随机变量的数学期望，再结合乘公比错位相减法，即可求解.

（1）由题意，设每个人摇上号的时间为个月，则，

可得，，

， ，

，

所以，

即平均每个人摇上号需要的时间为5.5个月.

（2）（ⅰ）每个月的摇号中恰有的概率摇上，

则有，且，

故为等比数列.

（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，.

故的数学期望为：.

设.

则，

两式作差得

所以.