Question

存在实数x使不等式

7x-7

+

10-2x

≥|m+1|成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：特称命题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题可先求出左边的式子的最小值，再使得右边小于左边的最小值，解关于m的不等式，得到 m的取值范围，即本题答案．

解答： 解：记f（x）=

7x-7

+

10-2x

，
∵存在实数x使不等式

7x-7

+

10-2x

≥|m+1|，
∴|m+1|≤[f（x）]_max．
∵(

x-1

)2+(

5-x

)2=4，
∴可设

x-1

=2cosα，

5-x

=2sinα，α∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=

7

x-1

+

2

5-x

=2（

7

cosα+

2

sinα）=6(

7

3

cosα+

2

3

sinα)=6sin（α+θ），
其中sinθ=

7

3

，cosθ=

2

3

，θ∈(0，

π

2

)．
∵α∈[0，

π

2

]，
∴θ≤α+θ≤

π

2

+θ，
∴sin（α+θ）≤1，6sin（α+θ）≤6．
即f（x）≤6，[f（x）]_max=6．
∴|m+1|≤6，
∴-6≤m+1≤6，
∴-7≤m≤5．
故答案为：[-7，5]．

点评：本题考查的是存在量词和能成立问题上，本题有一定的思维难度，属于中档题．