Question

1．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{QF}$，则|QF|=$\frac{8}{3}$，点Q的坐标为（$\frac{2}{3}$，±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F，准线l，运用向量共线定理和三角形的相似知识，可得|QM|=$\frac{8}{3}$，由抛物线的定义可得|QF|；运用点到直线的距离公式，解方程可得Q的坐标．

解答 解：抛物线C：y²=8x的焦点为F（2，0），准线为l：x=-2，
$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{QF}$，可得$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PF}$，
过Q作l的垂线，垂足为M，
设l与x轴的交点为H，
由三角形的相似可得，
$\frac{QM}{FH}$=$\frac{PQ}{PF}$，即为$\frac{QM}{4}$=$\frac{2}{3}$，
则|QM|=$\frac{8}{3}$，
由抛物线的定义可得|QF|=|QM|=$\frac{8}{3}$；
又xQ+2=$\frac{8}{3}$，解得x_Q=$\frac{2}{3}$，
y_Q=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即Q（$\frac{2}{3}$，±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：$\frac{8}{3}$，（$\frac{2}{3}$，±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和简单性质，考查向量共线定理的运用，运算化简能力，属于中档题．