Question

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是$12+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，体积是4．

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由位置关系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积，由锥体的体积公式求出几何体的体积．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图：
且PA⊥平面ABCD，PA=2，
底面是一个直角梯形，AD⊥CD、AD∥BC，BC=CD=2、AD=4，
取AD的中点E，连接BE，则BE∥CD，AE=BE=2，
∴由勾股定理得，AB=PC=BD=2$\sqrt{2}$，PB=$2\sqrt{3}$，PA=2$\sqrt{5}$，
∵PB²=BC²+PC²，PA²=AB²+PB²，∴AB⊥PB，PC⊥BC，
∴几何体和表面积：
S=$\frac{1}{2}×（2+4）×2+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4$+$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}$
=$12+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
几何体的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×2$×2=4，
故答案为：$12+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$；4．

点评 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．