Question

17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1，2），B（-3，4）．
（Ⅰ）求向量$\overrightarrow{AB}$的坐标及|$\overrightarrow{AB}$|；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的坐标表示，写出向量$\overrightarrow{AB}$，求出模长|$\overrightarrow{AB}$|即可；
（Ⅱ）利用平面向量的夹角公式，即可求出向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，2），B（-3，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3-1，4-2）=（-4，2），
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（-4）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）设向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，则：
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1×（-3）+2×4=5，
|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{{（-3）}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∴向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角的余弦值为：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{5}{\sqrt{5}×5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．