Question

7．已知f（x）=2x²-3x+1，g（x）=k•sin（x-$\frac{π}{6}$）（k≠0）．
（1）设f（x）的定义域为[0，3]，值域为A； g（x）的定义域为[0，3]，值域为B，且A⊆B，求实数k的取值范围．
（2）若方程f（sinx）+sinx-a=0在[0，2π）上恰有两个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数和正弦函数的图象与性质，分别求出f（x）、g（x）在区间[0，3]上的最值即得值域A、B；再根据A⊆B求出k的取值范围；
（2）根据f（sinx）+sinx-a=0在x∈[0，2π）上恰有两个解，利用换元法设t=sinx，t∈[-1，1]，构造函数h（t）=2t²-2t+1-a，讨论t的取值范围，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当x∈[0，3]时，由于f（x）=2x²-3x+1图象的对称轴为$x=\frac{3}{4}$，且开口向上，
可知$f{（x）_{min}}=f（\frac{3}{4}）=-\frac{1}{8}$，f（x）_max=f（3）=10，
所以f（x）的值域$A=[-\frac{1}{8}，10]$；…（1分）
当x∈[0，3]时，$（x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{π}{6}，3-\frac{π}{6}]$，$sin（x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$；…（2分）
所以当k＞0时，g（x）的值域$B=[-\frac{1}{2}k，k]$；
所以当k＜0时，g（x）的值域$B=[k，-\frac{1}{2}k]$；…（4分）
又∵A⊆B，所以$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{-\frac{1}{2}k≤-\frac{1}{8}}\\{k≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k≤-\frac{1}{8}}\\{-\frac{1}{2}k≥10}\end{array}\right.$；…（5分）
即 k≥10或k≤-20；…（6分）
（2）∵f（sinx）+sinx-a=0，所以2sin²x-2sinx+1-a=0在x∈[0，2π）上恰有两个解，…（7分）
设t=sinx，则t∈[-1，1]，令h（t）=2t²-2t+1-a，
①当t∈（-1，1）时，由题意h（t）=0恰有一个解或者有两个相等的解，
即h（-1）•h（-1）＜0或△=4-8（1-a）=0，即1＜a＜5或$a=\frac{1}{2}$；…（9分）
②若t=-1是方程2t²-2t+1-a=0的一个根，此时a=5，且方程的另一个根为t=2，于是sinx=-1或sinx=2，
因此$x=\frac{3π}{2}$，不符合题意，故a=5（舍）；…（10分）
③若t=1是方程2t²-2t+1-a=0的一个根，此时a=1，且方程的另一个根为t=0，于是sinx=1或sinx=0，
因此x=0或$\frac{π}{2}$或π，不符合题意，故a=1（舍）；…（11分）
综上，a的取值范围是1＜a＜5或$a=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，考查了换元法与转化思想的应用问题，是综合性题目．