Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA₁的另一交点为E，与CD₁的另一个交点为F，且AE⊥BA₁，则球O的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 设与CD₁的另一个交点为F，连结EF，DF，得BCEF是矩形，则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，求出球O的半径，即可求出球O体积．

解答 解：设与CD₁的另一个交点为F，连结EF，DF，得BCEF是矩形，
则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AE⊥BA₁，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，
∴球O的半径R=$\sqrt{2}$，
∴球O体积为：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π•（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故选：D．

点评 本题主要考查球的体积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．