Question

4．若x，y∈R，且x²+y²=4，那么x²-2$\sqrt{3}$xy-y²的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 可设x=2cosα，y=2sinα（0＜α≤2π），代入原式，运用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：由x²+y²=4，
可设x=2cosα，y=2sinα（0＜α≤2π），
则x²-2$\sqrt{3}$xy-y²=4cos²α-8$\sqrt{3}$sinαcosα-4sin²α
=4cos2α-4$\sqrt{3}$sin2α=8（$\frac{1}{2}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α）
=-8sin（2α-$\frac{π}{6}$），
当sin（2α-$\frac{π}{6}$）=-1，即α=$\frac{5π}{6}$时，取得最大值8．
故选：D．

点评 本题考查最值的求法，注意运用三角换元法，以及正弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．