Question

14．抛物线x²-2y-6xsinθ-9cos²θ+8cosθ+9=0的顶点的轨迹是（其中θ∈R）椭圆．

Answer 1

分析 利用平方关系，通过配方法对抛物线进行变形，消去参数即可得到顶点的轨迹．

解答 解：∵x²-2y-6xsinθ-9cos²θ+8cosθ+9=0，
∴2y=x²-6xsinθ-9（1-sin²θ）+8cosθ+9
∴y=$\frac{1}{2}$（x-3sinθ）²+4cosθ，
设该抛物线的顶点为（x，y），则x=3sinθ，y=4cosθ，
消去参数θ，得$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即顶点的轨迹是椭圆．
故答案为：椭圆．

点评 本题考查参数方程、平方关系、配方法、椭圆方程、抛物线方程，注意解题方法的积累，利用平方关系对表达式进行变形是解题的关键，属于中档题．