Question

5．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=$\frac{1}{2}$AB=2，S为AB上一点，且AB=4AS，M，N分别为PB，BC的中点，则点C到平面MSN的距离为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 确定△SMN是等边三角形，利用等体积建立方程，即可求出点C到平面MSN的距离．

解答 解：由题意，PB=BC=2$\sqrt{5}$，PC=2$\sqrt{2}$，BS=3，cos∠ABC=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴MS=NS=$\sqrt{5+9-2•\sqrt{5}•3•\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\sqrt{2}$，MN=$\sqrt{2}$，
∴△SMN是等边三角形，
∴S_△SMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}•（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△CSN中，CS=$\sqrt{5}$=CN，NS=$\sqrt{2}$，∴S_△CSN=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
设点C到平面MSN的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
∴h=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查点C到平面MSN的距离，考查三棱锥体积的计算，正确求三棱锥的体积是关键．