Question

19．设整数n≥2，若0＜a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_n，a₁a₂a₃…a_n≤x，求证：a₁a₂a₃…a_n-1≤x${\;}^{1-\frac{1}{n}}$．

Answer 1

分析 运用换元法，可令y=a₁a₂a₃…a_n，由不等式的性质可得y=a₁a₂a₃…a_n≤a_nⁿ，可得a_n≥y${\;}^{\frac{1}{n}}$，即可得证．

解答 证明：令y=a₁a₂a₃…a_n，
则y≤x，
由0＜a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_n，可得：
y=a₁a₂a₃…a_n≤a_nⁿ，
可得a_n≥y${\;}^{\frac{1}{n}}$，
即有a₁a₂a₃…a_n-1=$\frac{y}{{a}_{n}}$≤$\frac{y}{{y}^{\frac{1}{n}}}$=y${\;}^{1-\frac{1}{n}}$≤x${\;}^{1-\frac{1}{n}}$．
则a₁a₂a₃…a_n-1≤x${\;}^{1-\frac{1}{n}}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用换元法和不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．