Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（-x），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$若函数g（x）=a-|f（x）|有四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁+x₂x₃+x₂x₄的取值范围是[-5，-4]．

Answer 1

分析 利用函数g（x）=a-|f（x）|有四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，可得log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，x₁x₂=1，x₃+x₄=4，由x₁+x₂x₃+x₂x₄=x₁+4x₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$+4x₂，根据-1＜x₂≤-$\frac{1}{4}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，0＜a≤2，
∵函数g（x）=a-|f（x）|有四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
∴x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
∴x₁+x₂x₃+x₂x₄=x₁+4x₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$+4x₂，
∵0＜-log₂（-x₂）≤2，
∴-1＜x₂≤-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$+4x₂∈[-5，-4]
∴x₁+x₂x₃+x₂x₄的取值范围是[-5，-4]．
故答案为：[-5，-4]．

点评 本题考查分段函数，考查函数的零点，考查取值范围的确定，正确转化是关键．