Question

11．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，若△PAC为正三角形且边长为2，则三棱锥P-ABC外接球的体积为（　　）

• A． π
• B． $\frac{32\sqrt{3}}{27}$π
• C． $\frac{3}{4}$π
• D． $\frac{32}{27}$π

Answer 1

分析 取AC的中点O′，确定AC为△ABC外接圆的直径，球心O在PO′上，利用勾股定理建立方程求出球的半径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：取AC的中点O′，则PO′⊥AC，PO′=$\sqrt{3}$
∵AB⊥BC，
∴AC为△ABC外接圆的直径，
∴球心O在PO′上，
设球的半径为R，则R²=1²+（$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π•（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$π．
故选：B．

点评 本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．