Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BD中点，点P在线段B₁D₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 设$\frac{{B}_{1}{P}_{1}}{{B}_{1}{D}_{1}}$=λ，以B₁为原点建立坐标系，则$\overrightarrow{A{C}_{1}}$为平面A₁BD的法向量，求出$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{A{C}_{1}}$的坐标，得出sinα=|cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞|关于λ的函数，根据二次函数的性质得出sinα的取值范围．

解答 解：设正方体边长为1，$\frac{{B}_{1}{P}_{1}}{{B}_{1}{D}_{1}}$=λ（0≤λ≤1）．
以B₁为原点，分别以B₁A₁，B₁C₁，B₁B为坐标轴建立空间直角坐标系，
则O（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），P（λ，λ，0），∴$\overrightarrow{OP}$=（$λ-\frac{1}{2}$，$λ-\frac{1}{2}$，-1），
∵AB₁⊥A₁B，B₁C₁⊥平面AB₁，可得AC₁⊥A₁B，
同理可得AC₁⊥A₁D，
可得AC₁⊥平面A₁BD，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，-1）是平面A₁BD的一个法向量．
∴sinα=cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2（λ-\frac{1}{2}）^{2}+1}}$．
∴当λ=$\frac{1}{2}$时sinα取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当λ=0或1时，sinα取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．