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(2012•安徽模拟)已知椭圆C:
x2
4
+y2=1
,直线l与椭圆C相交于A、B两点,
OA
OB
=0
(其中O为坐标原点).
(1)试探究:点O到直线AB的距离是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由;
(2)求|OA|•|OB|的最小值.
分析:(Ⅰ)点O到直线AB的距离是定值.设A(x1,x2),B(x2,y2),当直线AB的斜率不存在时,则由椭圆的对称性可知,x1=x2,y1=-y2,此时点O到直线AB的距离d=|x1|=
2
5
5
;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆C:
x2
4
+y2 =1
联立,得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由根与系数的关系得到O到直线AB的距离d=
|m|
k2+1
=
2
5
5
.由此能求出点O到直线AB的距离为定值
2
5
5

(Ⅱ)(法一:参数法)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线OA的斜率为k(k≠0),则OA的方程为y=kx,OB的方程为y=-
1
k
x
,解方程组
y=kx
x2
4
+y2=1
,得
x12=
4
1+4k2
y12=
4k2
1+4k2
,同理可求得
x22=
4k2
4+4k2
y22=
4
4+4k2
,由此能推导出|OA|•|OB|的最小值.
法二:(均值不等式法)由(Ⅰ)可知,O到直线AB的距离d=
|m|
k2+1
=
2
5
5
.在Rt△OAB中,d=
|OA|×|OB|
|OA|2+|OB|2
,故有
|OA|×|OB|
|OA|2+|OB|2
=
2
5
5
,由此能求出|OA|•|OB|的最小值.
法三:(三角函数法)由(Ⅰ)知,在Rt△OAB中,点O到直线AB的距离|OH|=
2
5
5
.设∠OAH=θ,则∠BOH=θ,故|OA|=
|OH|
sinθ
,|OB|=
|OH|
cosθ
.所以,|OA|×|OB|=
|OH|2
sinθcosθ
=
8
5
sin2θ
,由此能求出|OA|•|OB|的最小值.
解答:解:(Ⅰ)点O到直线AB的距离是定值.
设A(x1,x2),B(x2,y2),
①当直线AB的斜率不存在时,则由椭圆的对称性可知,x1=x2,y1=-y2
OA
OB
=0
,即x1x2+y1y2=0,也就是x12-y12=0,代入椭圆方程解得:|x1| =|y1| =
2
5
5

此时点O到直线AB的距离d=|x1|=
2
5
5
.…(2分)
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,
与椭圆C:
x2
4
+y2 =1
联立,
消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
x1+x2=-
8km
1+4k2
x1x2=
4m2-4
1+4k2
,…(3分)
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,
所以(1+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0,…(4分)
代入得:(1+k2)
4m2-4
1+4k2
-
8k2m2
1+4k2
+m2=0

整理得5m2=4(k2+1),…(5分)
O到直线AB的距离d=
|m|
k2+1
=
2
5
5

综上所述,点O到直线AB的距离为定值
2
5
5
.…(6分)
(Ⅱ)(法一:参数法)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线OA的斜率为k(k≠0),则OA的方程为y=kx,OB的方程为y=-
1
k
x

解方程组
y=kx
x2
4
+y2=1
,得
x12=
4
1+4k2
y12=
4k2
1+4k2

同理可求得
x22=
4k2
4+4k2
y22=
4
4+4k2

|OA|•|OB|=
1+k2
|x1
1+
1
k2
|x2|

=
(1+k2)2
(1+4k2)(k2+4)
.…(9分)
令1+k2=t(t>1),则|OA|•|OB|=4
t2
4t2+9t-9
=4
1
-
9
t2
+
9
t
+4

g(t)=-
9
t2
+
9
t
+4
=-9(
1
t
-
1
2
)2+
25
4
(t>1),所以4<g(t)≤
25
4
,即
8
5
≤|OA|•|OB|<2
.…(11分)
当k=0时,可求得|OA|•|OB|=2,故
8
5
≤|OA|•|OB|≤2
,故|OA|•|OB|的最小值为
8
5
,最大值为2.…(13分)
法二:(均值不等式法)由(Ⅰ)可知,O到直线AB的距离d=
|m|
k2+1
=
2
5
5

在Rt△OAB中,d=
|OA|×|OB|
|OA|2+|OB|2
,故有
|OA|×|OB|
|OA|2+|OB|2
=
2
5
5

(|OA|×|OB|)2=
4
5
(|OA|+|OB| 2)
,…(9分)
而|OA|2+|OB|2≥2|OA|×|OB,(当且仅当|OA|=|OB|时取等号)
代入上式可得:(|OA|+|OB|)2=
4
5
(|OA|2+|OB|2)
8
5
|OA|×|OB|

|OA|×|OB|≥
8
5
,(当且仅当|OA|=|OB|时取等号).…(11分)
故|OA|•|OB|的最小值为
8
5
.…(13分)
法三:(三角函数法)由(Ⅰ)可知,如图,在Rt△OAB中,点O到直线AB的距离|OH|=
2
5
5

设∠OAH=θ,则∠BOH=θ,故|OA|=
|OH|
sinθ
,|OB|=
|OH|
cosθ
.…(9分)
所以,|OA|×|OB|=
|OH|2
sinθcosθ
=
8
5
sin2θ
,…(11分)
显然,当2θ=
π
2
,即θ=
π
4
时,|OA|•|OB|取得最小值,最小值为
8
5
.…(13分)
点评:本题探究点到直线的距离是否为定值,求线段乘积的最小值.考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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