Question

【题目】已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞).

【解析】试题分析：（1）先求出函数导数，由切线斜率得在点x=-1的斜率，再由f(－1)＝－2带入函数即可求解析式；

（2）令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间.

试题解析：

(1)由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，

知f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，

即f(－1)＝－2，＝－2，①

又f′(x)＝，

所以＝－.②

由①②得a＝2，b＝3.

(因为b＋1≠0, 所以b＝－1舍去)

所以所求函数解析式是f(x)＝.

(2)由(1)可得f′(x)＝.

令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，

则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0，

当3－2<x<3＋2时，f′(x)>0，

所以f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；

单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．