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(本小题满分13分)
随着国家政策对节能环保型小排量车的调整,两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆,通过分析预测,若以2010年1月为第1月,其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长,而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式:Tn=228a(1.012n-1)(n≤24,n∈N*).
(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式;
(2)比较两款车前n个月的销售总量SnTn的大小关系;
(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%,并说明理由.
(参考数据:≈1.09,≈8.66)
解:(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1a
公比q=1+1%=1.01的等比数列.(2分)
n个月的销售总量Sn==100a(1.01n-1)(n∈N*,且n≤24).
(2)∵SnTn=100a(1.01n-1)-228a(1.012n-1)=100a(1.01n-1)-228a(1.01n-1)(1.01n+1)=-228a(1.01n-1)·(1.01n+).
又1.01n-1>0,1.01n+>0,∴Sn<Tn.(8分)
(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为anbn
ana×1.01n-1.
n≥2时,bnTnTn1=228a(1.012n-1)-228a(1.012n-2-1)=228a×(1.012-1)×1.012n-2=4.5828a1.012n-2.(10分)
b1=4.5828a(或228×0.0201a),显然20%×b1<a1.
n≥2时,若an<20%×bn
a×1.01n-1<×4.5828a×1.012n-2
1.012(n-1)>×1.01n-1,1.01n-1>≈1.09,n-1>≈8.66.
n≥10,即从第10个月开始,Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.(13分)
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