Question

14．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，$cosA=\frac{2}{3}，sin（A+C）=\sqrt{5}cosC$
（1）求sinC的值
（2）若$a=\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由两角和的正弦函数公式可得sinC=$\sqrt{5}$cosC，两边平方可得：sin²C=5cos²C，又结合sin²C+cos²C=1，即可解得sinC的值；
（2）由a，sinA，结合正弦定理可求2R=$\frac{a}{sinA}$，由sinC，可求cosC，sinB的值，利用正弦定理可求b=c=2RsinB，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cosA=$\frac{2}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵sinB=$\sqrt{5}$cosC，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=$\sqrt{5}$cosC，
∴$\frac{\sqrt{5}}{3}$cosC+$\frac{2}{3}$sinC=$\sqrt{5}$cosC，
∴sinC=$\sqrt{5}$cosC，两边平方可得：sin²C=5cos²C，
又∵sin²C+cos²C=1，
∴sinC=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
（2）若a=$\sqrt{2}$，∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∵sinC=$\sqrt{5}$cosC，sin²C+cos²C=1，
∴cos²C=$\frac{1}{6}$，sin²C=$\frac{5}{6}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，cosC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴sinB=$\sqrt{5}$cosC=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴b=c=2RsinB=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$×$\frac{\sqrt{30}}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的面积：S=$\frac{1}{2}×$bcsinA=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．