Question

3．数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}为等差数列，且b₃=3，b₅=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的$n∈{N^*}，（{S_n}+\frac{1}{2}）•k≥{b_n}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）对于数列数列{a_n}，由a_n+1=2S_n+1，可得n≥2时，a_n=2S_n-1+1，a_n+1=3a_n，当n=1时，a₂=2a₁+1=3，利用等比数列的通项公式即可得出．
设等差数列{b_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，由$n∈{N^*}，（{S_n}+\frac{1}{2}）•k≥{b_n}$，化为：$\frac{1}{2}×{3}^{n}$•k≥2n-3，可得：k≥$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，令f（n）=$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）对于数列数列{a_n}，∵a_n+1=2S_n+1，∴n≥2时，a_n=2S_n-1+1，∴a_n+1-a_n=2a_n，化为a_n+1=3a_n，当n=1时，a₂=2a₁+1=3，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为1，
∴a_n=3^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₃=3，b₅=7，∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+2d=3}\\{{b}_{1}+4d=7}\end{array}\right.$，解得b₁=-1，d=2．
∴b_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，
∴$n∈{N^*}，（{S_n}+\frac{1}{2}）•k≥{b_n}$，化为：$\frac{1}{2}×{3}^{n}$•k≥2n-3，
化为：k≥$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，
令f（n）=$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$，则f（n+1）=$\frac{4n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴f（n）-f（n+1）=$\frac{4n-6}{{3}^{n}}$-$\frac{4n+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{12n-18-（4n-6）}{{3}^{n+1}}$=$\frac{8n-20}{{3}^{n+1}}$，
可知：n≤2时，f（n）＜f（n+1）；n≥3时，f（n）＞f（n+1）．
∴n=3时，f（n）取得最大值为$\frac{12-6}{{3}^{3}}$=$\frac{2}{9}$．
∴$k≥\frac{2}{9}$．
∴实数k的取值范围是$[\frac{2}{9}，+∞）$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．